Resolviendo Indeterminaciones en Límites

Al explorar el fascinante mundo del cálculo de límites, es común encontrarse con situaciones donde la simple sustitución del valor al que tiende la variable nos lleva a expresiones cuyo resultado no está definido. A estas operaciones las llamamos indeterminaciones. Obtener una indeterminación no significa que el límite no exista, sino que nos indica la necesidad de aplicar estrategias específicas para encontrar su verdadero valor. Es como si la operación nos dijera: 'Por este camino directo no puedes pasar, busca otra ruta'.

Este artículo te servirá de guía para enfrentarte a las indeterminaciones más habituales que surgen al calcular límites. Exploraremos cada tipo y las técnicas que te permitirán resolverlas, transformando esas expresiones confusas en resultados concretos.

¿Qué Camino Tomar Ante una Indeterminación?

La pregunta fundamental cuando se presenta una operación indeterminada en la resolución de un límite es: ¿Qué hago ahora? La respuesta depende del tipo de indeterminación que hayamos obtenido. Cada una de ellas requiere un enfoque particular, una 'ruta alternativa' que nos permita simplificar la expresión o reescribirla de tal manera que el límite pueda ser calculado.

Tipos Comunes de Indeterminación

Las principales indeterminaciones que encontrarás al resolver límites son:

• k/0 (un número distinto de cero dividido por algo que tiende a cero)
• 0/0 (algo que tiende a cero dividido por algo que tiende a cero)
• ∞/∞ (algo que tiende a infinito dividido por algo que tiende a infinito)
• ∞-∞ (la diferencia entre dos expresiones que tienden a infinito)
• ∞·0 (el producto de algo que tiende a infinito por algo que tiende a cero)
• 1^∞ (algo que tiende a 1 elevado a algo que tiende a infinito)
• 0^∞ (algo que tiende a cero elevado a algo que tiende a infinito)
• ∞⁰ (algo que tiende a infinito elevado a algo que tiende a cero)
• 0⁰ (algo que tiende a cero elevado a algo que tiende a cero)

Aunque a simple vista parezcan caóticas, cada una de estas formas indeterminadas tiene métodos de resolución bien definidos. Es importante identificarlas correctamente para aplicar la estrategia adecuada.

Cuadro Resumen de Técnicas

Aquí tienes un resumen rápido de las técnicas habituales para cada tipo de indeterminación. Más adelante, profundizaremos en cada una con ejemplos.

Indeterminación	Método/s Propuesto/s
k/0	Cálculo de límites laterales
0/0	Factorizar y simplificar si es posible. Si hay raíces, multiplicar y dividir por el conjugado.
∞/∞	Comparar grados de los infinitos (polinomios, exponenciales).
∞-∞	Comparar grados de infinitos. Operar la diferencia. Si hay raíces, multiplicar y dividir por el conjugado.
0·∞	Operar para convertir en 0/0 o ∞/∞.
1∞	Buscar la forma lim f(x)g(x) = elim (f(x)-1)·g(x)
0∞, ∞0, 00	Aplicar propiedades logaritmos (lim f(x)g(x) = elim g(x)·ln f(x))

Conocer este cuadro es el primer paso, pero entender por qué y cómo aplicar cada método es crucial.

Resolución de la Indeterminación k/0

La división por cero no está definida en aritmética. Sin embargo, en el contexto de los límites, el 'cero' en el denominador representa un valor muy pequeño, cercano a cero, no el cero exacto. Un número k (distinto de cero) dividido por un número muy pequeño da como resultado un número muy grande. La clave aquí es determinar si ese número grande es positivo (∞) o negativo (-∞).

La dirección hacia la que se acerca la variable al punto (por la derecha o por la izquierda) determina el signo del 'cero' en el denominador (0⁺ si se acerca por la derecha a un punto donde la función es positiva, o por la izquierda a un punto donde la función es negativa; 0^- en los casos contrarios). Por lo tanto:

Para resolver una indeterminación del tipo k/0, calculamos los límites laterales. El resultado será ∞ o -∞ dependiendo de la relación de signos entre k y la aproximación a cero (0⁺ o 0^-). Este tipo de indeterminación a menudo indica la presencia de una asíntota vertical en ese punto.

Ejemplos de k/0:

Ejemplo 1: lim_x→0 1/x

Sustituyendo obtenemos 1/0, que es IND. Calculamos límites laterales:

lim_x→0⁺ 1/x = 1/0⁺ = ∞ (Un positivo entre un número muy pequeño y positivo da un número muy grande y positivo)

lim_x→0^- 1/x = 1/0^- = -∞ (Un positivo entre un número muy pequeño y negativo da un número muy grande y negativo)

Como los límites laterales son distintos (∞ ≠ -∞), estrictamente hablando, el límite lim_x→0 1/x no existe.

Ejemplo 2: lim_x→3 2/(x-3)²

Sustituyendo obtenemos 2/0, que es IND. Calculamos límites laterales:

lim_x→3^- 2/(x-3)² = 2/(3^- - 3)² = 2/(un número muy pequeño y negativo)² = 2/(un número muy pequeño y positivo) = 2/0⁺ = ∞

lim_x→3⁺ 2/(x-3)² = 2/(3⁺ - 3)² = 2/(un número muy pequeño y positivo)² = 2/(un número muy pequeño y positivo) = 2/0⁺ = ∞

En este caso, como los límites laterales son iguales (ambos ∞), podemos afirmar que lim_x→3 2/(x-3)² = ∞.

Ejemplo 3: lim_x→2 (1-x)/(x-2)⁴

Sustituyendo obtenemos (1-2)/(2-2)⁴ = -1/0, que es IND. Calculamos límites laterales:

lim_x→2^- (1-x)/(x-2)⁴ = (1-2^-)/(2^--2)⁴ = (-1)/(un número muy pequeño y negativo)⁴ = -1/(un número muy pequeño y positivo) = -1/0⁺ = -∞

lim_x→2⁺ (1-x)/(x-2)⁴ = (1-2⁺)/(2⁺-2)⁴ = (-1)/(un número muy pequeño y positivo)⁴ = -1/(un número muy pequeño y positivo) = -1/0⁺ = -∞

Aquí, ambos límites laterales son -∞, por lo tanto, lim_x→2 (1-x)/(x-2)⁴ = -∞.

Aunque en algunos casos los límites laterales sean distintos, por convención se suele decir que k/0 = ∞ para indicar que la función diverge en ese punto, pero es fundamental calcular los laterales para una descripción completa del comportamiento.

Resolución de la Indeterminación 0/0

La indeterminación 0/0 es quizás una de las más comunes y versátiles. Nos indica que tanto el numerador como el denominador se están haciendo cero simultáneamente a medida que la variable se acerca a un punto. Esto a menudo ocurre porque hay un factor común que se anula en ese punto. Como decía Newton, hay que entender la 'razón con la que desaparecen' esas cantidades.

Para resolver la indeterminación de tipo 0/0:

• Si tienes un cociente de polinomios, el método habitual es factorizar tanto el numerador como el denominador y simplificar el factor común que causa la indeterminación. Luego, calculas el límite de la expresión simplificada.
• Si la expresión contiene raíces (radicales), ya sea en el numerador, el denominador, o ambos, la técnica consiste en multiplicar tanto el numerador como el denominador por el/los conjugado(s) de la expresión con la raíz. Esto suele eliminar las raíces y permite simplificar. Recuerda que la suma por diferencia es diferencia de cuadrados: (a+b)(a-b) = a² - b².

Ejemplos de 0/0:

Ejemplo 1: lim_x→2 (x² - 4)/(x - 2)

Al sustituir x=2, obtenemos (2²-4)/(2-2) = 0/0, que es IND. Son polinomios, así que factorizamos el numerador (diferencia de cuadrados):

lim_x→2 (x² - 4)/(x - 2) = lim_x→2 (x + 2)(x - 2)/(x - 2)

Simplificamos el factor común (x-2):

lim_x→2 (x + 2) = 2 + 2 = 4

El límite es 4.

Ejemplo 2: lim_x→1 (x - 1)/(x² - 2x + 1)

Al sustituir x=1, obtenemos (1-1)/(1²-2(1)+1) = 0/0, que es IND. Factorizamos el denominador (es un trinomio cuadrado perfecto):

x² - 2x + 1 = (x - 1)²

lim_x→1 (x - 1)/(x² - 2x + 1) = lim_x→1 (x - 1)/(x - 1)² = lim_x→1 1/(x - 1)

Ahora obtenemos una nueva indeterminación: 1/0. Para resolverla, aplicamos límites laterales como vimos en la sección anterior:

lim_x→1^- 1/(x - 1) = 1/(1^- - 1) = 1/0^- = -∞

lim_x→1⁺ 1/(x - 1) = 1/(1⁺ - 1) = 1/0⁺ = ∞

Como los límites laterales son distintos, el límite original lim_x→1 (x - 1)/(x² - 2x + 1) no existe.

Ejemplo 3: lim_x→3 (√(x + 6) - 3)/(x - 3)

Al sustituir x=3, obtenemos (√(3+6) - 3)/(3-3) = (√9 - 3)/0 = (3 - 3)/0 = 0/0, que es IND. Como hay una raíz, multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador (√(x + 6) + 3):

lim_x→3 (√(x + 6) - 3)/(x - 3) * (√(x + 6) + 3)/(√(x + 6) + 3)

Aplicamos (a-b)(a+b) = a²-b² en el numerador:

lim_x→3 ((√(x + 6))² - 3²) / ((x - 3)(√(x + 6) + 3)) = lim_x→3 (x + 6 - 9) / ((x - 3)(√(x + 6) + 3))

lim_x→3 (x - 3) / ((x - 3)(√(x + 6) + 3))

Simplificamos el factor común (x-3):

lim_x→3 1 / (√(x + 6) + 3) = 1 / (√(3 + 6) + 3) = 1 / (√9 + 3) = 1 / (3 + 3) = 1/6

El límite es 1/6.

Resolución de la Indeterminación ∞/∞

No todos los infinitos son iguales. Algunas funciones crecen hacia el infinito mucho más rápido que otras (por ejemplo, una exponencial crece más rápido que un polinomio). La indeterminación ∞/∞ nos indica que tanto el numerador como el denominador crecen sin límite, y para resolverla, debemos comparar la velocidad o 'grado' de esos infinitos.

Para resolver una indeterminación del tipo ∞/∞, comparamos los grados de los infinitos en el numerador y el denominador. Si estamos tratando con polinomios, comparamos el grado del polinomio; si son exponenciales, comparamos la base:

• Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, el límite es ∞ o -∞, dependiendo de los signos de los términos de mayor grado.
• Si el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, el límite es 0.
• Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, el resultado es un valor finito, que es el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado.

Esta regla práctica se justifica dividiendo tanto el numerador como el denominador por la potencia más alta presente (en el caso de polinomios) o por la exponencial de mayor base (en el caso de exponenciales). Al hacer esto, todos los términos de menor grado o menor base tenderán a cero, dejando solo los términos dominantes.

Ejemplos de ∞/∞:

Ejemplo 1: lim_x→∞ (x⁴ + 2) / (-3x³ + 2)

Al sustituir x→∞, obtenemos ∞/∞, que es IND. Comparamos grados: Grado del numerador (4) es mayor que el grado del denominador (3). El término de mayor grado en el numerador es x⁴ (positivo coeficiente 1) y en el denominador es -3x³ (negativo coeficiente -3). Un infinito de mayor grado dividido por un infinito de menor grado tiende a infinito. El signo es (+)/(-) = (-). Por lo tanto, el límite es -∞.

lim_x→∞ (x⁴ + 2) / (-3x³ + 2) = -∞ (Grado num. > Grado den.)

Ejemplo 2: lim_x→∞ ln(x + 5) / (2x)

Al sustituir x→∞, obtenemos ∞/∞, que es IND. Comparamos grados: La función logarítmica (ln(x)) crece más lento que cualquier polinomio (2x). Por lo tanto, el grado del denominador es mayor que el grado del numerador (en términos de velocidad de crecimiento al infinito). El límite es 0.

lim_x→∞ ln(x + 5) / (2x) = 0 (Grado den. > Grado num.)

Ejemplo 3: lim_x→∞ (4x³ + 3x²) / (2x³ + 1)

Al sustituir x→∞, obtenemos ∞/∞, que es IND. Comparamos grados: El grado del numerador (3) es igual al grado del denominador (3). El límite es el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado: 4/2 = 2.

lim_x→∞ (4x³ + 3x²) / (2x³ + 1) = 4/2 = 2 (Grado num. = Grado den.)

Si el límite tiende a -∞ en lugar de ∞, a menudo es útil hacer un cambio de variable x = -y y calcular el límite cuando y→∞.

Resolución de la Indeterminación ∞-∞

Similar a ∞/∞, la indeterminación ∞-∞ surge cuando dos expresiones que tienden a infinito se restan. No podemos simplemente asumir que el resultado es cero porque, de nuevo, la 'velocidad' a la que cada expresión se acerca a infinito puede ser diferente. Una puede ser un 'infinito más grande' que la otra.

Para resolver una indeterminación del tipo ∞-∞:

• Si puedes apreciar a simple vista el grado de los infinitos (por ejemplo, un polinomio frente a una exponencial), puedes resolverlo por comparación de grados. La expresión con el infinito de mayor grado dominará el resultado.
• A veces, simplemente operar la diferencia que causa la indeterminación (sumando o restando fracciones, eliminando paréntesis, etc.) transformará la expresión en otro tipo de indeterminación (como 0/0 o ∞/∞) que ya sabemos resolver.
• Si hay raíces, el método más común y efectivo es multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión que contiene las raíces. Esto ayuda a eliminar las raíces del numerador o denominador y simplificar la expresión.

Ejemplos de ∞-∞:

Ejemplo 1: lim_x→∞ (3x¹⁰⁵ - 2x + 2)

Al sustituir x→∞, obtenemos ∞ - ∞, que es IND. Comparamos grados: La exponencial 3^x crece infinitamente más rápido que el polinomio x¹⁰⁵. El término -2^x tiene una base mayor que 3, por lo que -2^x es el término dominante y tiende a -∞. El límite es -∞.

lim_x→∞ (3^x - 2^x + 2) = lim_x→∞ (3^x - 2^x) = ∞ - ∞ IND. Corrigiendo el ejemplo original, si fuera lim_x→∞ (x¹⁰⁵ - 2^x + 2), la exponencial domina, y el límite sería -∞. Si fuera lim_{x→∞ (3^x - 2^x), factorizamos la base mayor: limx→∞ 3^x(1 - (2/3)^x) = ∞(1 - 0) = ∞. Si fuera limx→∞ (2^x - 3^x), sería limx→∞ 3^x((2/3)^x - 1) = ∞(0 - 1) = -∞. El ejemplo proporcionado `lim x → ∞ 3 x 105 - 2 x + 2` parece mal escrito, asumiendo que es `lim x → ∞ (3^x - 2^x + 2)`, la comparación de exponenciales 3^x vs 2^x nos da que 3^x domina, por lo tanto ∞.}

Ejemplo 2: lim_x→∞ (x² / (x + 2) - x)

Al sustituir x→∞, obtenemos ∞/∞ - ∞ = ∞ - ∞, que es IND. Operamos la diferencia (restamos las fracciones):

lim_x→∞ (x² / (x + 2) - x(x + 2) / (x + 2)) = lim_x→∞ (x² - (x² + 2x)) / (x + 2)

lim_x→∞ (x² - x² - 2x) / (x + 2) = lim_x→∞ (-2x) / (x + 2)

Ahora tenemos una indeterminación ∞/∞. Comparamos grados: Grado del numerador (1) es igual al grado del denominador (1). El límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado: -2/1 = -2.

lim_x→∞ (-2x) / (x + 2) = -2

Ejemplo 3: lim_x→∞ (√(x² + x) - 2x)

Al sustituir x→∞, obtenemos ∞ - ∞, que es IND. Hay una raíz, así que multiplicamos y dividimos por el conjugado (√(x² + x) + 2x):

lim_x→∞ (√(x² + x) - 2x) * (√(x² + x) + 2x) / (√(x² + x) + 2x)

Aplicamos (a-b)(a+b) = a²-b² en el numerador:

lim_x→∞ ((√(x² + x))² - (2x)²) / (√(x² + x) + 2x) = lim_x→∞ (x² + x - 4x²) / (√(x² + x) + 2x)

lim_x→∞ (-3x² + x) / (√(x² + x) + 2x)

Ahora tenemos una indeterminación ∞/∞. Comparamos grados. En el numerador el grado es 2 (-3x²). En el denominador, dentro de la raíz tenemos x², cuya raíz es |x|, de grado 1. El término 2x también es de grado 1. La suma en el denominador es de grado 1. Por lo tanto, el grado del numerador (2) es mayor que el grado del denominador (1). El término dominante en el numerador es -3x², en el denominador √(x²) + 2x que se comporta como x + 2x = 3x para x→∞. El límite es de la forma -∞/+∞ = -∞.

lim_x→∞ (-3x² + x) / (√(x² + x) + 2x) = -∞ (Grado num. > Grado den.)

Ejemplo 4: lim_x→2 (x² - 2) / (x - 2) - 1 / (x - 2)

Al sustituir x→2, la primera fracción tiende a (4-2)/0 = 2/0 (IND, tiende a ∞ o -∞), y la segunda a 1/0 (IND, tiende a ∞ o -∞). Tenemos ∞ - ∞ IND. Operamos la diferencia (ya tienen el mismo denominador):

lim_x→2 (x² - 2 - 1) / (x - 2) = lim_x→2 (x² - 3) / (x - 2)

Al sustituir x=2, obtenemos (4-3)/(2-2) = 1/0, que es IND. Resolvemos por límites laterales:

lim_x→2^- (x² - 3) / (x - 2) = (2^-)² - 3 / (2^- - 2) = (4 - 3) / 0^- = 1 / 0^- = -∞

lim_x→2⁺ (x² - 3) / (x - 2) = (2⁺)² - 3 / (2⁺ - 2) = (4 - 3) / 0⁺ = 1 / 0⁺ = ∞

Como los límites laterales son distintos, el límite original no existe.

Resolución de la Indeterminación ∞·0

Esta indeterminación surge de la multiplicación de algo que tiende a infinito por algo que tiende a cero. El resultado no es necesariamente cero, ya que la velocidad a la que uno crece y el otro decrece influye en el producto.

Para resolver una indeterminación del tipo ∞·0, el objetivo principal es operar la expresión para convertirla en una indeterminación de tipo 0/0 o ∞/∞, las cuales ya sabemos cómo manejar. Esto se logra reescribiendo el producto como un cociente.

• Si tienes f(x) · g(x) donde f(x)→∞ y g(x)→0, puedes reescribirlo como f(x) / (1/g(x)) (forma ∞/∞) o como g(x) / (1/f(x)) (forma 0/0). Generalmente, se elige la forma que resulte en una expresión más sencilla de manejar.

Ejemplo de ∞·0:

Ejemplo: lim_x→∞ x · (1 / (3x² + 1))

Al sustituir x→∞, obtenemos ∞ · (1/∞) = ∞ · 0, que es IND. Reescribimos el producto como un cociente para obtener una indeterminación 0/0 o ∞/∞. La forma más sencilla aquí es pasar la x al denominador de la fracción interna:

lim_x→∞ x / (3x² + 1)

Ahora tenemos una indeterminación ∞/∞. Comparamos grados: Grado del numerador (1) es menor que el grado del denominador (2). Por lo tanto, el límite es 0.

lim_x→∞ x / (3x² + 1) = 0 (Grado num. < Grado den.)

Alternativamente, podríamos haber reescrito como (1 / (3x² + 1)) / (1/x) = x / (3x² + 1), llegando al mismo resultado.

Resolución de la Indeterminación 1∞

La indeterminación 1^∞ aparece cuando una función tiende a 1 y otra tiende a infinito simultáneamente en un límite. Aunque 1 elevado a cualquier potencia finita es 1, cuando la base se acerca a 1 y el exponente crece sin límite, el resultado no está garantizado a ser 1. El famoso número 'e' surge precisamente de un límite de este tipo: lim_x→∞ (1 + 1/x)^x = e.

La regla práctica para resolver las indeterminaciones de tipo 1^∞, basada en la definición del número e, es la siguiente:

Si tienes lim f(x)^g(x) y obtienes la forma 1^∞, el límite es igual a e^{lim (f(x) - 1) · g(x)}.

Esta regla se deriva de la transformación f(x)^g(x) = e^ln(f(x)g(x)) = e^{g(x)·ln(f(x))}. Como f(x)→1, ln(f(x)) se comporta de manera similar a (f(x)-1) cerca de 1 [usando la aproximación ln(1+u) ≈ u para u pequeño]. Por lo tanto, g(x)·ln(f(x)) se aproxima a g(x)·(f(x)-1).

Ejemplo de 1^∞:

Ejemplo: lim_x→3 ((x² + 2x - 9) / (x + 3))^{1 / (x - 3)}

Al sustituir x=3 en la base obtenemos ((3² + 2(3) - 9) / (3 + 3)) = (9 + 6 - 9) / 6 = 6/6 = 1. Al sustituir en el exponente obtenemos 1/(3-3) = 1/0, que tiende a ∞ o -∞. En este caso, para x cercano a 3, x-3 es pequeño. Si nos acercamos por la derecha (x>3), x-3 > 0, 1/(x-3)→+∞. Si nos acercamos por la izquierda (x<3), x-3 < 0, 1/(x-3)→-∞. Asumiremos que el límite existe si los límites laterales son iguales, o que nos acercamos de forma que el exponente tiende a +∞. Tenemos la forma 1^∞ IND.

Aplicamos la regla: e^{lim_x→3 (((x2 + 2x - 9) / (x + 3)) - 1) · (1 / (x - 3))}

Calculamos el límite del exponente:

lim_x→3 (((x² + 2x - 9 - (x + 3)) / (x + 3)) · (1 / (x - 3)))

lim_x→3 ((x² + 2x - 9 - x - 3) / (x + 3)) · (1 / (x - 3))

lim_x→3 ((x² + x - 12) / (x + 3)) · (1 / (x - 3))

Factorizamos el numerador x² + x - 12 = (x - 3)(x + 4) (buscamos dos números que multiplicados den -12 y sumados den 1: 4 y -3):

lim_x→3 ((x - 3)(x + 4) / (x + 3)) · (1 / (x - 3))

Simplificamos el factor común (x - 3):

lim_x→3 (x + 4) / (x + 3)

Sustituimos x=3:

(3 + 4) / (3 + 3) = 7 / 6

Este es el límite del exponente. Por lo tanto, el límite original es e elevado a este resultado:

e^7/6

Resolución de 0∞, ∞0 y 00

Estas tres indeterminaciones surgen de funciones elevadas a otras funciones. Al igual que 1^∞, no se pueden resolver por simple intuición, ya que dependen del comportamiento relativo de la base y el exponente.

Para resolver indeterminaciones del tipo 0^∞, ∞⁰ y 0⁰, todas provenientes de un límite de la forma lim f(x)^g(x), utilizamos la propiedad que relaciona exponenciales y logaritmos: a^b = e^ln(ab) = e^b·ln(a).

Si tienes lim f(x)^g(x) y obtienes una de estas formas indeterminadas, puedes reescribir el límite como:

lim f(x)^g(x) = lim e^{g(x) · ln(f(x))}

Como la función exponencial e^x es continua, podemos 'intercambiar' el límite y la exponencial:

lim f(x)^g(x) = e^{lim g(x) · ln(f(x))}

Ahora el problema se reduce a calcular el límite del exponente: lim g(x) · ln(f(x)). Este nuevo límite a menudo se convierte en una indeterminación del tipo ∞·0, la cual ya sabemos resolver. Una vez que calculamos el límite del exponente (llamémoslo L), el límite original será e^L.

Ejemplos de 0^∞, ∞⁰ y 0⁰:

Ejemplo 1 (0^∞): lim_x→0⁺ x^1/x

Al sustituir x→0⁺, la base tiende a 0 y el exponente 1/x tiende a +∞. Tenemos la forma 0^∞ IND. Aplicamos la propiedad logarítmica:

lim_x→0⁺ x^1/x = e^{lim_x→0+ (1/x) · ln(x)}

Calculamos el límite del exponente: lim_x→0⁺ ln(x) / x. Al sustituir x→0⁺, ln(x)→-∞ y x→0⁺. Tenemos la forma -∞/0⁺ = -∞. (Un número muy grande negativo dividido por uno muy pequeño positivo da un número muy grande negativo).

El límite del exponente es -∞. Por lo tanto, el límite original es e^-∞.

e^-∞ = 1 / e^∞ = 1 / ∞ = 0

lim_x→0⁺ x^1/x = 0

Ejemplo 2 (∞⁰): lim_x→∞ x^1/x

Al sustituir x→∞, la base tiende a ∞ y el exponente 1/x tiende a 0. Tenemos la forma ∞⁰ IND. Aplicamos la propiedad logarítmica:

lim_x→∞ x^1/x = e^{lim_x→∞ (1/x) · ln(x)}

Calculamos el límite del exponente: lim_x→∞ ln(x) / x. Al sustituir x→∞, ln(x)→∞ y x→∞. Tenemos la forma ∞/∞ IND.

Resolvemos esta nueva indeterminación ∞/∞ comparando la velocidad de crecimiento. La función ln(x) crece más lento que cualquier polinomio x (o cualquier potencia de x mayor que 0). Por lo tanto, el grado del denominador es mayor que el del numerador (en términos de jerarquía de infinitos).

lim_x→∞ ln(x) / x = 0 (Grado den. > Grado num.)

El límite del exponente es 0. Por lo tanto, el límite original es e⁰.

e⁰ = 1

lim_x→∞ x^1/x = 1

Ejemplo 3 (0⁰): lim_x→0⁺ x^x

Al sustituir x→0⁺, la base tiende a 0 y el exponente tiende a 0. Tenemos la forma 0⁰ IND. Aplicamos la propiedad logarítmica:

lim_x→0⁺ x^x = e^{lim_x→0+ x · ln(x)}

Calculamos el límite del exponente: lim_x→0⁺ x · ln(x). Al sustituir, obtenemos 0 · (-∞), que es una indeterminación ∞·0 IND.

Convertimos la indeterminación ∞·0 en 0/0 o ∞/∞. Reescribimos x · ln(x) como ln(x) / (1/x):

lim_x→0⁺ ln(x) / (1/x)

Al sustituir x→0⁺, ln(x)→-∞ y 1/x→+∞. Tenemos la forma -∞/+∞, que es ∞/∞ IND.

Esta indeterminación se puede resolver, por ejemplo, usando la regla de L'Hôpital, que se aplica a formas 0/0 o ∞/∞ (aunque no se explica en detalle aquí, el resultado de lim_x→0⁺ ln(x)/(1/x) es 0). El límite del exponente es 0.

El límite del exponente es 0. Por lo tanto, el límite original es e⁰.

e⁰ = 1

lim_x→0⁺ x^x = 1

Preguntas Frecuentes

P: ¿Qué es un límite determinado?
R: Un límite es determinado cuando, al sustituir el valor al que tiende la variable en la función, obtenemos un resultado numérico definido (finito) o un infinito cuyo signo es claro (por ejemplo, un número distinto de cero dividido por algo que no tiende a cero, o infinito más infinito). En estos casos, no hay ambigüedad y el límite se calcula directamente por sustitución o aplicando propiedades básicas de límites.

P: ¿Cuáles son las leyes de los límites?
R: Las leyes de los límites son reglas que nos permiten calcular límites de funciones combinadas (sumas, restas, productos, cocientes, potencias) a partir de los límites de las funciones individuales, siempre que estos últimos existan y se eviten indeterminaciones (como dividir por cero). Incluyen la ley de la suma, diferencia, producto, múltiplo constante, cociente (si el denominador no es cero), y potencia. Estas leyes son fundamentales para simplificar el cálculo de muchos límites.

P: ¿La regla de L'Hôpital sirve para todas las indeterminaciones?
R: La regla de L'Hôpital es una herramienta muy útil para resolver indeterminaciones de tipo 0/0 y ∞/∞, y mediante transformaciones, también puede aplicarse a otras formas (como ∞·0, ∞-∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰) una vez que se convierten a 0/0 o ∞/∞. Sin embargo, no es la única herramienta y a veces los métodos vistos en este artículo (factorización, conjugado, comparación de grados) son más sencillos o la regla de L'Hôpital puede requerir varias aplicaciones. Además, no se aplica a la indeterminación k/0, que se resuelve con límites laterales.

Conclusión

Las indeterminaciones son un desafío común pero superable en el cálculo de límites. Cada tipo (k/0, 0/0, ∞/∞, ∞-∞, ∞·0, 1^∞, 0^∞, ∞⁰, 0⁰) tiene sus propias estrategias de resolución, que a menudo implican transformar la expresión original mediante operaciones algebraicas, el uso de conjugados, la comparación de grados de infinitos o la aplicación de propiedades de logaritmos y exponenciales. Dominar estas técnicas es esencial para calcular límites de funciones complejas y comprender el comportamiento de las funciones en puntos críticos o en el infinito. La práctica con ejemplos variados es la clave para identificar rápidamente el tipo de indeterminación y aplicar el método más adecuado.

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